erittäin kovaa yhdistelmäongelmaa !!!?

Toimistossa eri aikoina päivällä pomo antaa sihteerille kirjoitettavan kirjeen, joka kerran laittaa kirjeen kasan päälle sihteerin laatikkoon. Kun aikaa on, sihteeri ottaa ylimmän kirjaimen kasasta ja kirjoittaa sen. Päivän aikana on kirjoitettava yhdeksän kirjainta, ja pomo toimittaa ne järjestyksessä 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Lähdessään lounaalle sihteeri kertoo kollegalleen, että kirjain 8 on jo kirjoitettu, mutta ei sano muuta aamun kirjoittamisesta. Työtoveri miettii, mitkä yhdeksästä kirjaimesta on vielä kirjoitettava lounaan jälkeen ja missä järjestyksessä ne kirjoitetaan. Kuinka monta tällaista lounaan jälkeistä kirjoitustilausta on mahdollista yllä olevien tietojen perusteella? (Se, että kirjoitettavia kirjaimia ei ole jäljellä, on yksi mahdollisuus.)

3 vastausta

• BinhSuosikkivastaus

  joten meillä on 8 mahdollista skenaariota

  skenaario # 1: Hän kirjoitti vain yhden kirjaimen sinä aamuna (kirje # 8).

  joten meillä on 7 yhdistelmää0 = 1 mahdollinen järjestys (kirjaimissa 7 6 5 4 3 2 1 jäljellä pinossa)

  huomautus: 7 = #kirjeet sulkevat pois 8. kirjaimen, 0 = #kirjeet, jotka hän kirjoitti myös 8. kirjaimella sinä aamuna

  kalat aurinko neitsyt kuu

  Koska pomo voi pudottaa yhdeksännen kirjaimen milloin tahansa lounaan jälkeen, yhdeksäs kirjain voi olla pinon päällä tai keskellä tai alareunassa.

  joten meidän on kerrottava 8 yhdistelmä1 yhteen mahdolliseen järjestykseen (8 = # kokonaiskirjeestä, 1 = yhdeksäs kirjain)

  joten se on 8 * 1 = 8 tilausta 1. skenaariossa

  skenaario # 2: Hän kirjoitti vain 2 kirjainta sinä aamuna (kirje nro 8 ja yksi 7 muusta kirjaimesta).

  7yhdistelmä1 = 7

  meidän on kerrottava 8yhdistelmä1 yhdeksännen kirjaimen huomioon ottamiseksi

  joten se on 7 yhdistelmä1 * 7 yhdistelmä1 = 49 tilausta 2. skenaariossa

  skenaario # 3: Hän kirjoitti vain 3 kirjainta sinä aamuna (kirje nro 8 ja 2 7 muusta kirjaimesta).

  7yhdistelmä2 = 21

  joten se on 7 yhdistelmä2 * 6 yhdistelmä1 = 126 tilausta 3. skenaariossa

  skenaario # 4: Hän kirjoitti vain 4 kirjainta sinä aamuna (kirjeet 8 ja 3 7 muusta kirjaimesta).

  7yhdistelmä3 = 35

  joten se on 7 yhdistelmä3 * 5 yhdistelmä1 = 175 tilausta 4. skenaariossa

  skenaario # 5: Hän kirjoitti vain 5 kirjainta sinä aamuna (Kirjeet 8 ja 4 7 muusta kirjaimesta).

  7yhdistelmä4 = 35

  joten se on 7 yhdistelmä4 * 4 yhdistelmä1 = 140 tilausta 5. skenaariossa

  skenaario # 6: Hän kirjoitti vain 6 kirjainta sinä aamuna (Kirjeet 8 ja 5 7 muusta kirjaimesta).

  7yhdistelmä5 = 21

  joten se on 7 yhdistelmä5 * 3 yhdistelmä1 = 63 tilausta 6. skenaariossa

  skenaario # 7: Hän kirjoitti vain 7 kirjainta sinä aamuna (kirjeet 8 ja 6 7 muusta kirjaimesta).

  7yhdistelmä6 = 7

  joten se on 7yhdistelmä6 * 2yhdistelmä1 = 14 tilausta 7. skenaariossa

  skenaario # 8: Hän kirjoitti vain kaikki 8 kirjainta sinä aamuna.

  7yhdistelmä7 = 1

  joten se on 7yhdistelmä7 * 1yhdistelmä1 = 1 tilausta 8. skenaariossa

  Lisää sitten kaikki mahdolliset skenaarioiden tilaukset

  8 + 49 + 126 + 175 + 140 + 63 + 14 + 1 = 576 tällaiset tilaukset lounaan jälkeen ovat mahdollisia.

  Mannnn ... se on paljon mahdollisia tilauksia, se on perseestä, kun toinen sihteeri tekee tämän henkisesti, kun hän ihmettelee, jos hän voi tehdä tämän henkisesti, hän todennäköisesti haluaa saada parempaa työtä kuin sihteeri: P

• Apratim r

  Olkoon kasassa k kirjaimia lounasaikaan, missä 0 â ?? ¤ k â ?? ¤ n = 7. (Joten sihteeri on jo kirjoittanut (n + 1) -nimisen eli kahdeksannen.)

  Kukin C (n, k) mahdollisista k-kirjainkokoelmista voidaan kirjoittaa vain 1 (eli laskevassa) järjestyksessä, mutta pomo voi liukastua (n + 2) -: ssä millä tahansa k + 1 tavasta .

  Joten käyttämällä alla osoittautunutta Lemmaa, lounaan jälkeisten kirjoitustilausten kokonaismäärä on

  _ (k = 0? n) (k + 1) C (n, k) = (n + 2) 2 = 1 = 9 2 = 576.

  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  Lemma: n â ?? ¥ 1: lle â ???? _ (k = 0 â n?) (K + 1) C (n, k) = (n + 2) 2ⁿ⁻¹.

  Todiste lemmasta: Olkoon f (x) = (1 + x) ⁿ = â ???? _ (k = 0 â ???? n) C (n, k) x ^ k.

  Sitten x f (x) = x (1 + x) ⁿ = â ???? _ (k = 0 â ???? n) C (n, k) x ^ (k + 1), joten

  (xf (x)) '= (1 + (n + 1) x) (1 + x) =¹ = â ???? _ (k = 0 â n?) (k + 1) C (n, k) x ^ k.

  Aseta nyt x = 1. â ????

• ?

  Katsotaanpa, voimmeko yksinkertaistaa tätä yhdellä havainnolla: Kun jokin kirjain on kirjoitettu, kaikki kirjoitettavaan kasaan jääneet kirjaimet on kirjoitettava laskevassa numerojärjestyksessä. Jos kirjain 8 oli ainoa, joka kirjoitettiin ennen lounasta, niin muut ovat pinossa ylhäältä alas järjestyksessä

  7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

  ja ainoa kysymys on, puuttuuko jokin niistä (jo kirjoitettu).

  Jokainen kirjain voi olla pinossa lounasaikaan tai ei. Kummallekin on vain kaksi mahdollisuutta, ja tiedämme kaikkien niiden järjestyksen. Joten on

  2 ^ 7 = 128 mahdollista tilaa näille seitsemälle kirjaimelle.

  Entä kirjain 9? Emme tiedä, onko se kirjoitettu, vai onko se myöhemmin ilmestynyt, ja jos on, mistä pinon sijainnista. Joten jokaiselle mahdolliselle kirjainipulle 1-7, asemien lukumäärä siinä järjestyksessä, missä kirjain 9 kirjoitetaan, on kirjainten 1-7 lukumäärä plus kaksi, koska kirjain 9 voi nousta ylös

  - kun jokin niistä on kirjoitettu,

  vesimies aurinko neitsyt kuu

  - ennen kuin jokin niistä kirjoitetaan, tai

  - ei lainkaan, jos se kirjoitettiin myös ennen lounasta.

  Joten meidän on otettava 128 mahdollista pinoa kirjaimia 1-7 ja laskettava ne pinon kirjainten lukumäärällä.

  7 kirjainta jäljellä: 1 tapa, joka voi tapahtua, kertaa 9 mahdollisuutta kirjaimen 9 = 9 kirjoittamisjärjestykseen

  6 vasemmalla: 7 tapaa * 8 kirjainta-9 paikkaa = 56

  5 jäljellä: 7C5 = 21 tapaa * 7 = 147

  4 vasemmalla: 7C4 = 35 tapaa * 6 = 210

  3 jäljellä: 35 * 5 = 175

  2 jäljellä: 21 * 3 = 63

  1 jäljellä: 7 * 2 = 14

  0 jäljellä: 2

  Huomaa, että jos yhtäkään kirjaimista 1-7 ei ole jäljellä, lounaan jälkeen on vielä kaksi mahdollista kirjoitusjärjestystä riippuen siitä, onko myös kirjain 9 tehty vai vasta tulossa.

  Lisäämällä nämä saamme

  56 + 147 + 210 + 175 + 63 + 14 + 2 = vain 667 mahdollista lounaan jälkeen.